Equações diferenciais binárias aplicadas a geometria de superfícies

Abstract

Uma equação diferencial binária (EDB) é uma equação diferencial implícita que define até duas direções no plano. Neste trabalho, tratamos de EDB's da forma a(x,y)dy² + 2b(x,y)dy\,dx + c(x,y)dx² = 0, com a, b e c funções suaves em um aberto U de R². As equações das linhas de curvatura e das linhas assintóticas são exemplos de EDB's da forma acima. Logo, é possível usar os resultados estudados para conhecer seu comportamento em superfícies em R³. Além disso, o trabalho avança generalizando a métrica do espaço, com foco nas métricas lorentzianas e degenerada, e generalizando o operador linear autoadjunto que define essas curvas. Dessa forma, são definidas as linhas de curvatura A- principais, as linhas A-assintóticas e as linhas tipo luz, estudando principalmente seu comportamento e singularidades localmente em seus respectivos conjuntos discriminantes. Palavras-chave: equações diferencias binárias; linhas de curvatura; linhas assintóticas; espaço de Minkowski

A Binary Differential Equation (BDE) is an implicit differential equation that defines up to two directions in the plane. In this work, we consider BDEs of the form a(x,y)dy² + 2b(x,y)dy\,dx + c(x,y)dx² = 0, where a, b, and c are smooth functions on an open subset U of R². The equations of lines of curvature and asymptotic lines are examples of BDEs of the form above. Therefore, the results developed here can be used to understand their behavior on surfaces in R³. Moreover, this work advances by generalizing the metric of the ambient space, with a focus on Lorentzian and degenerate metrics, as well as by generalizing the self- adjoint linear operator that defines these curves. In this way, A-principal curvature lines, A-asymptotic lines, and lightlike lines are defined, with particular emphasis on the local study of their behavior and singularities on their respective discriminant sets. Keywords: binary differential equations; lines of curvature; asymptotic lines; Minkowski space