Solução e estabilização exponencial para uma equação do tipo Allen-Cahn com coeficiente singular

Abstract

Neste trabalho fizemos um estudo analítico sobre a existência de solução para a equaçãode Allen Cahn com coeficiente singular.au EAu=u— Es +y em Q=0Qx (0,7).u(x,0) = us em O (1)u(x,t) = O S = 00x (0,7), em que 9 Cc R”n=(1,2e3) é um domínio de classe C2, onde k(x) > O é o coeficiente de reação. À equação de Allen-Cahn tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica. Para o desenvolvimento deste trabalho usamos como ferramenta o método de Galerkin. Também realizamos o estudo do decaimento exponencial da energia total associado a equação (2). Sobre o coeficiente k(x) > 0, encontramos condições e hipóteses abstratas de forma a garantir a existência de solução, além de fornecer exemplos, de funções que satisfazem tais hipóteses, nos casos em que n = 1,2 0u 8. Palavras-chave: EDP. Equação de Allen-Cahn. Método de Galerkin.

In this work we made an analytical study on the existence of a solution to the Allen Cahn equation with singular coefficient.du —EAu=u ts +y m Q=-0x(0,7).u(x,0) = uo in Q (2) u(x,t) = O on S = 900 x (0,7), in that Qc R”n=(1,2and3) isa domain of class C2, where k(x) > O is the reaction coefficient. The Allen-Cahn equation has been widely studied in several areas of science and mainly in the evolution of microstructures during the solidification process of a pure metal or metallic alloy. For the development of this work, we used the Galerkin method as a tool. We also carried out the study of the exponential decay of the total energy associated with the equation (2). On the coefficient k(x) > 0, we find conditions and abstract hypotheses in order to guarantee the existence of a solution, in addition to providing examples of functions that satisfy such hypotheses, in cases where n = 1.2 or 3. Keywords: PDE. Allen-Cahn equation. Galerkin's method.