Sobre envelopes de retas intermediárias de curvas planas

Abstract

Dada uma curva γ plana, fechada e convexa, e dois pontos distintos em tal curva, pode-se definir a reta média a qual passa pelo ponto médio do segmento ligando esses dois pontos e a intersecção das retas tangentes em cada um deles. Uma análise interessante, para tais retas, é investigar o comportamento do conjunto chamado de envelope das retas médias. Em nosso estudo, abordamos as ideias fundamentais e alguns resultados da Geometria Diferencial Afim e da Teoria de Singularidades, a fim de apresentaremos qual é o comportamento a cerca do envelope das retas médias. Posteriormente, é feita uma generalização desses conceitos, levando em conta o envelope da família de retas intermediárias, as quais são retas que passam por um ponto intermediário da corda ligando dois pontos distintos da curva e pelo ponto de intersecção das tangentes nesses respectivos pontos, isto é, o Envelope das Retas Intermediárias. Palavras-chave: AESS. Aplicação conormal. Geometria diferencial afim. Ponto médio.

Given a planar, closed and convex γ curve, and two distinct points on that curve, it is possible to define the mid-line which passes through the midpoint of the segment connecting these two points and the intersection of the tangent lines in each of them. An interesting analysis for such lines is to investigate the behavior of the set called the envelope of the mid-lines. In our study, we approach the fundamental ideas and some results of Affine Differential Geometry and the Theory of Singularities, in order to present what is the behavior around the envelope of the mid-lines. Subsequently, a generalization of these concepts is made, taking into account the envelope of the family of intermediate lines, which are lines that pass through an intermediate point of the chord connecting two distinct points on the curve and through the intersection point of the tangents at these respective points, that is, the Envelope of the Intermediate Lines. Keywords: AESS. Conormal map. Affine differential geometry. Middle point.