Superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridimensionais

Abstract

Recentemente, o estudo de superfı́cies com propriedades geométricas preestabelecidas, imersas em variedades homogêneas de dimensão 3, têm recebido atenção de diversos geômetras, um dos principais foi H.Rosenberg, veja [17]. O principal objetivo deste trabalho foi estudar superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridi- mensionais cujo grupo de isometrias tem dimensão 4, estes espaços são conhecidos como espaços E³ (κ, τ ). Para cumprir tal objetivo, apresentaremos no capı́tulo 1 as ferramentas necessárias para classificar as superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ). Começaremos definindo alguns conceitos da Geometria Diferencial, tais como superfı́cie, curvatura, pontos umbı́licos, superfı́cies completas, dentre outros. Além disso, vamos apresentar a classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ) com κ = τ = 0, ou seja, em R³ . Em seguida, com o objetivo do obter o teorema de classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em H² × R e S² × R, que será apresentado no capı́tulo 2, apresentamos de maneira sucinta a geometria das formas espaciais bidimensionais H² e S². No capı́tulo 2, provamos a inexistência de superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas E³ (κ, τ ) para τ ≠ 0, isto é, aquelas que não são produtos Riemannianos. Em seguida, apresentamos a classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Por fim, apresentamos um resultado de unicidade das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Palavras-chave: Teorema de Classificação. Isometrias positivas. Teorema de unicidade. Submersão de Killing.

Recently, the study of surfaces with pre-established geometrical properties, immersed in homogeneous manifolds of dimension 3, has received attention from several geometers, one of the main ones was H.Rosenberg, see [17]. The main objective of this work was to study totally umbilical surfaces in three-dimensional homogeneous varieties whose isometric group has dimension 4, these spaces are known as spaces E³ (κ, τ ). To accomplish this goal, we will present in the 1 chapter the tools needed to classify totally umbilical surfaces into E³ (κ, τ ). We will begin by defining some concepts of differential geometry such as surface, curvature, umbilical points and complete surfaces. Also, let’s talk about an important known result about surfaces that are totally umbilical in E³ (κ, τ ) with κ = τ = 0, ie R³. In the following section with the objective of obtaining the totally umbilical surface classification theorem in H² × R and S² × R, which will be presented in chapters 2, we briefly present the geometry of two-dimensional space forms H² and S². In chapter 2, we proved the absence of totally umbilical surfaces in homogeneous varieties E³ (κ, τ ) for τ ≠ 0, that is, those that are not Riemannian products. Next, we present the classification of totally umbilical surfaces in S² × R and H² × R. Finally, we present a result of uniqueness of the fully umbilical surfaces in S² × R and H² × R. Keywords: Classification Theorem. Positive isometries. Uniqueness theorem. Killing submersion.