Dinâmica polinomial randômica, conjuntos de Julia totalmente desconexos associados à família f(cn)(z) = z³ + cnz

Abstract

Esta dissertação apresenta um estudo sobre dinâmica polinomial randômica, para uma classe de sequências de polinômios que possuem coeficientes limitados, com destaque para a família quadrática fc_n (z) = z2 + cn, e a família cúbica fc_n (z) = z3 + cnz, onde (cn) é uma sequência tal que, cn pertence à V para todo n natural, e V é um subconjunto aberto e limitado do plano complexo. Além disso, fornece a prova de uma condição para que o conjunto de Julia associado à família cúbica descrita acima, seja totalmente desconexo. Inicialmente, foram abordados alguns resultados de dinâmica complexa clássica, teoria da medida e dinâmica complexa randômica, e isto permitiu analisar as diferenças que surgem entre o caso clássico e o randômico. Em seguida, o trabalho abordou a dinâmica polinomial randômica, com o objetivo de explicitar alguns resultados do caso clássico, que podem ser generalizados para o contexto randômico, quando os polinômios em questão possuem coeficientes limitados. Também, está presente uma classificação topológica do conjunto de Julia, tanto para a família quadrática quanto para a família cúbica. De modo geral, existe uma caracterização de conexidade para esses conjuntos. No que diz respeito a desconexidade, os conjuntos de Julia são classificados de acordo com as respectivas componentes conexas. Alguns resultados associados a densidade, e a medida de alguns desses conjuntos também foram provados. Palavras-chave: dinâmica polinomial randômica; conjunto de Fatou; conjunto de Julia; totalmente desconexo

This dissertation presents a study on random polynomial dynamics for a class of sequences of polynomials with bounded coefficients, with emphasis on the quadratic family fc_n (z) = z2 + cn, and the cubic family fc_n (z) = z3 + cnz, where (cn) is a sequence such that, cn belong to V for every natural number n, and V is an open and bounded subset of the complex plane. Furthermore, it provides a proof of a condition under which the Julia set associated with the aforementioned cubic family is totally disconnected. Initially, the work discusses some classical results in complex dynamics, measure theory, and random complex dynamics, which enables an analysis of the differences that arise between the classical and the random cases. Subsequently, the study focuses on random polynomial dynamics, aiming to make explicit certain results from the classical case that can be generalized to the random context when the polynomials involved have bounded coefficients. The dissertation also presents a topological classification of the Julia set for both the quadratic and cubic families. In general, a characterization of connectedness for these sets is established. Regarding disconnectedness, the Julia sets are classified according to their respective connected components. Some results related to the density and measure of these sets are also proven. Keywords: random polynomial dynamics; Fatou set; Julia set; totally disconnected.