Conexidade do conjunto de Julia de funções racionais

Abstract

O conjunto de Julia de um polinômio complexo P é conexo se, e somente se, as órbitas de seus pontos críticos são limitadas. Não se têm um critério tão simples para a conexidade do conjunto de Julia de funções racionais. Neste trabalho, estudamos sob quais condições o conjunto de Julia de funções racionais é conexo. Primeiramente, estabelecemos condições sob as quais a bacia de atração é completamente invariante e o conjunto de Julia é conexo. Além disso, é mostrado que a conexidade da bacia de atração tem relação com as órbitas de seus pontos críticos. Obtemos ainda, dois importantes critérios para a conexidade do conjunto de Julia de funções racionais. Estes critérios nos diz que, funções racionais pós-críticas finitas ou funções racionais com conjunto de Fatou, que não possuem anéis de Herman e cada componente de Fatou possui no máximo um ponto crítico, tem conjunto de Julia conexo. Palavras-chave: Conexidade. Conjunto de Julia. Conjunto de Fatou. Funções Racionais.

Julia set of a complex polynomial P is connected if and only if the orbits of the critical points are limited. There is no such simple criteria for the connectivity of the Julia set of rational functions. In this work, we study under which conditions the Julia set of rational function is connected. First, we establish conditions under which the basin of attraction is completely invariant and the Julia set is connected. Furthermore, it is shown that the connection of the basin of attraction is related to the orbits the critical points. We also obtain two important criteria for connectivity Julia set of rational functions. ‘These criteria tell us that, rational functions with a finite postcritical set or rational functions with a Fatou set which no contains Herman rings and each component of which contains at most one critical point, have a connected Julia set. Keywords: Connectedness. Julia set. Fatou set. Rational Functions.