Códigos de grupo, LCD e auto-ortogonais construídos a partir de p-grupos abelianos finitos

Abstract

Neste trabalho descrevemos os idempotentes primitivos da álgebra de grupo Fq G = Fq (Cpm × Cpn ), em que Cpm e Cpn são, respectivamente, grupos cíclicos de ordem pm e pn . Para tanto, elaboramos alguns exemplos nos quais calculamos os elementos idempotentes a partir da teoria de corpos finitos. Além disso, calculamos os idempotentes, por meio de exemplos, a partir da teoria de grupos. Nosso objetivo é mostrar, na prática, como devemos transitar seguramente entre essas diferentes abordagens, evidenciando as relações entre elas e as consequências nos cálculos dos idempotentes, gerados pela diferença das hipóteses adotadas em cada caso. Por fim, descrevemos todos os códigos abelianos LCD e auto-ortogonais da álgebra de grupo Fq G a partir dos idempotentes primitivos previamente calculados. Palavras-chave: Códigos. Idempotentes. Primitivos.

In this work we describe the primitive idempotents of the group algebra Fq G = Fq (Cpm × Cpn ), with Cpm and Cpn cyclic groups of order pm and pn , respectively. To do so, we elaborate on some examples in which we calculate the idempotent elements using finite field theory. Additionally, we calculate these elements in some examples using group theory. Our goal is to demonstrate in practice how to safely navigate between these different approaches, highlighting the relationships between them and the consequences in the computation of idempotents, arising from the differences in the assumptions made in each case. Finally, we describe all linear codes with complementary dual (LCD) and all self-orthogonal abelian codes in the group algebra Fq G based on the previously computed primitive idempotents. Keywords: Codes. Idempotents. Primitives.