Resíduos de folheações tangentes a hipersuperfícies com singularidades isoladas

Abstract

Nesta dissertação, estudamos fórmulas do tipo Baum-Bott para folheações holomorfas unidimensionais em variedades complexas não compactas da forma X~ = X - D, onde X é uma variedade complexa compacta de dimensão n e D é uma hipersuperfície com singularidades isoladas. Serão apresentados, seguindo o trabalho de Machado, resultados que estendem fatos conhecidos na literatura, que tratavam do caso em que D possui singularidades do tipo cruzamento normal, permitindo agora que D tenha singularidades isoladas arbitrárias. Nesse cenário, o feixe tangente logarítmico TX(-log D) não é localmente livre, o que impede a aplicação direta das propriedades usuais de classes de Chern. Machado, mostra em seu trabalho que o fibrado virtual TX - [D], onde [D] é o fibrado associado à hipersuperfície D, desempenha o papel esperado no cálculo da soma dos resíduos na fórmula de Baum-Bott. O resultado central, denominado Teorema A, estabelece uma expressão precisa para a integral da Classe Top de Chern do fibrado virtual TX - [D] - TF em termos de invariantes locais da folheação e da hipersuperfície, envolvendo os números de Milnor, o índice logarítmicos e o índice GSV. Como aplicação dos resultados obtidos, foi investigado o problema de Poincaré para folheações unidimensionais no espaço projetivo complexo Pn). Além disso, são estabelecidas relações entre os conjuntos singulares da folheação e da hipersuperfície invariante em termos dos respectivos graus. Palavras-chave: problema de Poincaré; fórmula de Baum-Bott; folheações holomorfas.

In this dissertation, we study Baum-Bott type formulas for one-dimensional holomorphic foliations on non-compact complex manifolds of the form X~ = X - D, where X is an n-dimensional compact complex manifold and D is a hypersurface with isolated singularities. Following the work of Machado, we present results that extend known facts in the literature, which dealt with the case where D has normal crossing singularities, now allowing D to have arbitrary isolated singularities. Under these assumptions, the logarithmic tangent sheaf TX(-log D) fails to be locally free, which prevents the direct application of the usual Chern class properties. Machado shows in his work that the virtual bundle TX - [D], where [D] is the line bundle associated to the hypersurface D, serves the intended purpose in the computation of the sum of residues in the Baum-Bott formula. The central result, termed Theorem A, establishes a precise expression for the integral of the top Chern class of the virtual bundle TX - [D] - TF in terms of local invariants of the foliation and the hypersurface, involving Milnor numbers, the logarithmic index and the GSV index. As an application of the obtained results, the Poincaré problem for one-dimensional foliations on the complex projective space Pn was investigated. Furthermore, relations between the singular sets of the foliation and the invariant hypersurface are established in terms of their respective degrees. Keywords: Poincaré problem; Baum-Bott formula; holomorphic foliations.