Existência de solução para problemas elípticos do tipo subcrítico e crítico via Método de Galerkin

Abstract

Neste trabalho, utilizamos técnicas da Análise Funcional para estudar a existência de soluções fracas para problemas elípticos não lineares dos tipos subcrítico e crítico por meio do Método de Galerkin. Os problemas considerados envolvem, no caso subcrítico, um operador não local do tipo Kirchhoff sujeito a condições de Dirichlet homogêneas e com termo não linear composto por uma parcela côncava e uma parcela convexa. Nesse contexto, considera-se um domínio limitado com fronteira suave, um parâmetro positivo lambda, expoente sublinear pertencente ao intervalo (0,1) e expoente superlinear p estritamente menor que o expoente crítico de Sobolev. No caso crítico, estuda-se um problema elíptico envolvendo o operador Laplaciano e condições de Dirichlet homogêneas, cuja não linearidade é formada por uma parcela sublinear e por um termo com crescimento crítico em relação à imersão de Sobolev. O domínio considerado possui fronteira suave, sendo lambda um parâmetro positivo e um expoente pertencente ao intervalo (0,1). O estudo aborda as principais dificuldades associadas à natureza não local do operador de Kirchhoff e à perda de compacidade decorrente do crescimento crítico, empregando ferramentas da Análise Funcional, resultados de imersão de espaços de Sobolev e técnicas adequadas do Método de Galerkin para estabelecer a existência de soluções fracas para os problemas considerados. Palavras-chave: operador laplaciano; operador de Kirchhoff; existência de solução; método de Galerkin; operadores monótonos.In this work, we employ techniques from Functional Analysis to study the existence of weak solutions for nonlinear elliptic problems of subcritical and critical type through the Galerkin Method. In the subcritical case, the problem involves a nonlocal Kirchhoff-type operator subject to homogeneous Dirichlet boundary conditions and a nonlinear term consisting of both concave and convex components. The setting considers a bounded domain with smooth boundary, a positive parameter lambda, a sublinear exponent belonging to the interval (0,1), and a superlinear exponent p strictly below the critical Sobolev exponent. In the critical case, we study an elliptic problem involving the Laplacian operator under homogeneous Dirichlet boundary conditions, whose nonlinearity consists of a sublinear term and a term with critical growth with respect to the Sobolev embedding. The domain is assumed to have a smooth boundary, while lambda is a positive parameter and belongs to the interval (0,1). The analysis addresses the main difficulties arising from the nonlocal nature of the Kirchhoff operator and from the lack of compactness associated with critical growth. Functional analytic techniques, Sobolev embedding results, and appropriate Galerkin methods are employed to establish the existence of weak solutions for the problems under consideration. Keywords: laplacian operator; Kirchhoff operator; existence of solution; Galerkin method; monotone operators.