Limites geométricos dos conjuntos connectedness locus e julia associados a família de funções racionais Rn,c,a(z)= zn+a/zn+c

Abstract

O campo da dinâmica complexa analítica tem sofrido um rápido desenvolvimento nos últimos 20 anos. Depois de um período de relativa dormência, o campo de estudo ressurgiu em 1980 devido a algumas imagens, bastante intrigantes, obtidas com o auxílio de computadores do conjunto de Mandelbrot ou Connectedness Locus (O Conectedness Locus M n da família de polinômios de grau n consiste de todos os parâmetros c, tais que o conjunto de Julia de P c (z) = z n +c é conexo, ou equivalentemente se a órbita de cada ponto crítico de P c (z) é limitada), assim como a novos avanços na matemática preconizados por Douady, Hubbard, Sullivan e outros. Neste trabalho estudamos algumas propriedades geométricas do Conjunto de Julia, Conjunto de Julia Cheio e do Connectedness Locus (Conjunto de Mandelbrot). Além disso, procuramos estabelecer os limites geométricos do Connectedness Locus e dos conjuntos de Julia associados a família de polinômios complexos P n,c (z) = z n + c e da família R n,a,c (z) = z n + z a n + c, para isso utilizamos a métrica de Hausdorff. Por fim, estudamos também a reta real estendida como um conjunto de Julia que mostramos ser um conjunto caótico. Palavras-chave: Dinâmica. Funções. Funções de variáveis complexas.

The field of complex analytical dynamics has undergone rapid development over the last 20 years. After a period of relative numbness, the field of study resurfaced in 1980 due to some rather intriguing images obtained with the help of computers from the Mandelbrot or Connectedness Locus set (The Connectedness Locus M n of the n-degree polynomial family consists of all the parameters c such that the Julia set of P c (z) = z n +c is connected, or equivalently if the orbit of each critical point of P c (z) is limited), as well as to new advances in mathematics advocated by Douady, Hubbard, Sullivan and others. In this work we study some geometric properties of the Julia Set, Set of Julia Full and the Connectedness Locus (Mandelbrot Set). In addition, we seek to establish the geometric boundaries of the Connectedness Locus and the Julia sets associated with the family of complex polynomials P n,c (z) = z n + c and of the family R n,c,a (z) = z n + z a n + c, for this we use the Hausdorff metric. Finally, we also study the extended real line as a set of Julia that we show to be a chaotic set. Key words: Dynamics. Functions. Complex Variable Functions.