Módulos de Weyl e de Demazure para álgebras de Lie de correntes

Abstract

Sejam g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita sobre o conjunto dos números complexos e sl r+1 o conjunto das matrizes de ordem (r + 1) × (r + 1) com traço zero. Neste trabalho apresentamos uma famı́lia de módulos integráveis, denotados por W (λ), para a álgebra de Lie afim estendida, com λ um peso dominante inteiro de g e definimos os módulos de Weyl para as álgebras de loop L(g) = g ⊗ C[t, t −1 ], segundo um artigo de Chari e Pressley, como sendo quocientes dos módulos W (λ). Esses módulos de Weyl são de peso máximo, parametrizados por uma r-upla de polinômios π, com r denotando o posto de g. Além disso, provamos algumas propriedades universais dos módulos W (λ) e W (π). Outro objeto de nosso estudo foi a famı́lia dos módulos de Demazure, os quais definimos sobre a álgebra de correntes g[t], quando g = sl r+1 , e provamos que, em representações integráveis de peso máximo da álgebra de Lie afim associada a g, eles são quocientes dos módulos de Weyl. A partir da noção de módulos de fusão, segundo um artigo de Chari e Loktev, apresentamos uma relação entre os módulos de Weyl, os módulos de fusão da álgebra de correntes g[t], quando g = sl r+1 , e os módulos de Demazure da correspondente álgebra de Lie afim. Além disso, como uma consequência da relação anterior, apresenta- mos um caso especial de uma conjectura de Chari e Loktev sobre a estrutura e caracter dos módulos fusão. Palavras-chave: Álgebra de Lie afim. Álgebra de correntes. Módulos de Weyl. Módulos de Demazure. Módulos de fusão.Let g be a simple Lie algebra of finite dimension over the complex numbers and sl r+1 be the Lie algebra of (r + 1) × (r + 1)-matrices of trace zero. In this work we present a family of integrable modules, denoted by W (λ) for the extended affine Lie algebra, with λ an entire dominant weight of g and we define the Weyl modules for the loop algebras L(g) = g ⊗ C[t, t −1 ], according to an article by Chari and Pressley, as quotients of the modules W (λ). These Weyl modules are of maximum weight, parametrized by an r-tuple of polynomials π, with r denoting the rank of g. Besides, we proved some universal pro- perties of the modules W (λ) and W (π). Another object of our study was the family of the Demazure modules, which we define on the current algebra g[t], when g = sl r+1 , and we prove that, in integrable representations of maximum weight of the related Lie algebra associated with g, they are quotients of the Weyl modules. From the notion of fusion mo- dules, according to an article by Chari and Loktev, we present a relation between Weyl modules and the fusion modules of current Lie algebra g[t], for g = sl r+1 , and the Dema- zure modules of the corresponding affine Lie algebra. Furthermore, as a consequence of the previous relation, we establish special cases of a conjecture by Chari and Loktev on the structure and character of the fusion modules. Keywords: Affine Lie algebras. Current Lie algebras. Weyl modules. Demazure modules. Fusion modules.