Análise global de sistemas diferenciais polinomiais

Abstract

Em [1] os autores usaram dois sistemas de equações diferenciais para estudar as oscilações do processo glicolítico da levedura, conhecidos na literatura como oscilador de Higgins- Selkov e modelo de Selkov. Neste trabalho, classificamos todos os retratos de fase possíveis destes modelos no Disco de Poincaré. Para atingir este objetivo, usamos algumas ferramentas clássicas da teoria qualitativa de sistemas de EDOs, tais como, o Teorema de Hartman- Grobman, Teoremas das Variedades Central e Estável, Teorema de Poincaré-Bendixson, além de alguns resultados da teoria local de sistemas não-lineares (veja [5]). Também apresentamos a Compactificação de Poincaré, ferramenta que nos permite analisar o comportamento das órbitas quando estas se aproximam do infinito, e o blow-up direcional, que é utilizado para estudar singularidades degeneradas. Palavras-chave: Sistemas diferenciais polinomiais. Compactificação de Poincaré. Modelo Higgins-Selkov. Modelo Selkov. Classificação topológica de singularidades.

In [1] the authors use two systems of differential equations to study the oscillations of the yeast glycolytic process, known in the literature as the Higgins-Selkov oscillator and the Selkov model. In this work, we classify all possible phase portraits of these models on the Poincaré Disk. In order to do this, we use some classical tools of the qualitative theory of ODE systems, such as Hartman-Grobman Theorem, Central and Stable Manifold Theorems, Poincaré-Bendixson Theorem, in addition to some results from local theory of nonlinear systems (see [5]). Moreover, we present the Poincaré Compactification, which is a tool that allows us to analyze the behavior of the orbits when they approach infinity, and the directional blow-up, which is a technique used for studying of degenerate singularities. Keywords: Polynomial differential systems. Poincaré Compactification. model. Selkov model. Topological classification of singularities. Higgins-Selkov