Existência de soluções positivas para sistemas de Lane-Emden

Abstract

Neste trabalho estudamos a existência, unicidade e regularidade de solução ground state positiva para sistemas de Lane-Emden da forma:   Lu = |v|p−1 v em Ω,  Lv = |u|q−1 u em Ω,   u, v = 0 em ∂Ω, onde n ≥ 3, Ω ⊂ Rn é um domínio suave e limitado, Lu = −Δu ou Lu = −Δu+u e p, q satisfazem p, q > 0 e 2 + >1− p+1 q+1 n (H1) e da forma: Lu = |v|p−1 v em Rn , Lv = |u|q−1 u em Rn , onde n ≥ 3, Lu = −Δu ou Lu = −Δu + u. No caso Lu = −Δu + u, temos que p, q satisfazem pq > 1 e (H1). E no caso Lu = −Δu, temos que p, q satisfazem p, q > 0 e 2 + =1− . p+1 q+1 n (H2) Fizemos também uma contribuição no sentido de estabelecer a existência de solução ground state para o seguinte sistema com peso:  p−1  −Δu = |v| v em Ω,    |x|β  f (u) em Ω,  −Δv = |x|α     u, v = 0 sobre ∂Ω, onde n ≥ 4, α, β < n, Ω ⊂ Rn é um domínio suave, limitado e contendo a origem e f : R → R é uma função contínua. Palavras chaves: Sistemas elípticos, hipérbole crítica, existência de solução.

The present work deals with existence, uniqueness and regularity of positive ground state solutions for Lane-Emden systems of the form:   Lu = |v|p−1 v in Ω,  Lv = |u|q−1 u in Ω,   u, v = 0 on ∂Ω, where n ≥ 3, Ω ⊂ Rn is a smooth bounded domain, Lu = −Δu or Lu = −Δu + u and p, q satisfy p, q > 0 and 2 + >1− p+1 q+1 n (H1) and of the form: Lu = |v|p−1 v in Rn , Lv = |u|q−1 u in Rn , where n ≥ 3, Lu = −Δu or Lu = −Δu + u. In the case Lu = −Δu + u, we have p, q satisfy pq > 1 and (H1). Now, in the case Lu = −Δu, we have p, q satisfy p, q > 0 and 2 + =1− . p+1 q+1 n (H2) We made a contribution by establishing the existence of ground state solution for the following system with weights:  p−1  −Δu = |v| v in Ω,    |x|β  f (u) in Ω,  −Δv = |x|α     u, v = 0 on ∂Ω, where n ≥ 4, α, β < n, Ω ⊂ Rn is a smooth bounded domain and containing 0 and f : R → R is a continuous function. Keywords: Elliptic systems, critical hyperbole, existence of solution.