Elementos primitivos especiais em corpos finitos

Abstract

Neste trabalho estamos interessados em encontrar condições suficientes que garantam a existência de um elemento primitivo α ∈ F q de forma que f (α) também seja um elemento primitivos em F q , onde F q é um corpo finito de característica qualquer, ou seja, com q = p k elementos e f (x) ∈ F q (x) é uma função racional com algumas restrições. Neste sentido, exibimos explicitamente os valores de k para os quais tal par existe sendo p ∈ {2, 3, 5, 7}. Por outro lado, considerando q uma potência de um primo ímpar com q > 169, iremos demonstrar que sempre existam três elementos primitivos consecutivos no corpo finito F q . Mais precisamente, existem onze valores de q ≤ 169 para os quais isto é falso. Palavras-chave: Elementos Primitivos. Corpos Finitos. GAP.

In this work we are interested in finding sufficient conditions to guarantee the existence of a primitive element α ∈ F q so that f (α) is also a primitive element in F q , where F q is a finite field of any characteristic, that is, with q = p k elements and f (x) ∈ F q (x) is a rational function with some restrictions. In this sense, we explicitly determine the values of k for which such a pair exists for p ∈ {2, 3, 5, 7}. On the other hand, considering q > 169 we will demonstrate that always there are three consecutive primitive elements in the finite field F q . More precisely, there are eleve values of q ≤ 169 for which this is false. Keywords: Primitive Elements. Finite Fields. GAP.