Evolutóides de Curvas Planas

Abstract

Dada uma curva γ suave, fechada e sem auto-interseções, o envelope da família de retas tangentes é formado pela própria curva reunida com as retas tangentes nos pontos de inflexão e o envelope da família de retas normais consiste da evoluta de γ. Um questionamento que ocorre de maneira natural é o que existe entre esses dois envelopes. O envelope dessa família de retas é denominado evolutóide. Neste trabalho, abordamos os evolutóides euclidianos e afins. Para isso, fez-se necessário uma revisão da geometria diferencial euclidiana de curvas planas e geometria diferencial afim de curvas planas, bem como um estudo detalhado sobre envelopes e uma introdução a conceitos da Teoria de Singularidades. Os principais resultados apresentados, tanto para o caso euclidiano quanto para o caso afim, foram: parametrização explícita dos evolutóides, condições de regularidade, condições de singularidades A 2 e A 3 e estrutura local da superfície discriminante. Palavras-chave: Família de curvas. Envelopes. Evoluta. Singularidades.

Given a smooth, closed and no self-intersecting γ, the envelope of the family of tangent lines is formed by the itself joined with the tangent lines at the inflection points, and the envelope of the family of normal lines consists of the evolute of γ. A question that naturally occurs is what exists between these two envelopes. The envelope of this family of lines is called an evolutoid. In this work, we approach Euclidean evolutoids and Affine evolutoids. For this, it was necessary to review the Euclidean geometry of plane curves and affine differential geometry of plane curves, as well as a detailed study of the differential envelopes and an introduction to the concepts of Singularity Theory. The main results presented, both for the Euclidean case and for the affine case, were: explicit parameterization of the evolutoids, regularity conditions, singularity conditions A 2 e A 3 and local structure for the discriminant surface. Keywords: Family of curves. Envelopes. Evolute. Singularities.