Superfı́cies compactas construı́das por grupos fuchsianos associados às tesselações {8g-4,4} e {20n-10,5}

Abstract

O objetivo principal desse trabalho é a construção de emparelhamentos de arestas de polı́gonos hiperbólicos regulares relacionados às tesselações hiperbólicas {8g-4,4} e {20n-10,5}. Através dos grupos fuchsianos estudamos todas as isometrias do plano hiperbólico a fim de encontrarmos emparelhamentos que deem origem a superfı́cies compactas de gênero g ≥ 2. O grupo das isometrias de emparelhamentos de ares- tas de um polı́gono, quando age de maneira propriamente descontı́nua no plano hiperbólico H² , forma um conjunto gerador para o grupo fuchsiano. Além disso, podemos representar o espaço órbita H² \Γ por esse polı́gono, que é construı́do como domı́nios de Dirichlet. O meio que utilizamos para encontrar esses emparelhamentos foi estudando todos os possı́veis caminhos fechados em grafos quadrivalentes imersos em uma superfı́cie de gênero 2. Encontramos também algumas generalizações para alguns destes emparelhamentos. Palavras-chave: Tesselação hiperbólica. Emparelhamento de arestas. Grafos quadrivalentes em superfı́cies.

The main objective of this work is the construction of regular hyperbolic polygon edge pairings related to the {8g − 4, 4} hyperbolic tessellation. We apply Fuchsian groups to study all the isometries of the hyperbolic plane in order to find pairings that give rise to a compact surface of the genus g ≥ 2. The group of isometric pairings of a polygon’s edge matching, when acting in a discontinuous way in the hyperbolic plane H² forms a generator set for the Fuchsian group and. In addition, we can represent the orbit space H² \Γ for this polygon, which is built as Dirichlet domains. The means we used to find these pairings was studying all possible closed paths in quadrivalent graphs immersed in a surface of genus 2. We also found some generalizations for some of these pairings. Keywords: Hyperbolic tessellation. Pairing edges. Quadrivalent graphs on surfaces.