Sistemas singulares hiperbólicos

Abstract

Neste trabalho demonstramos alguns teoremas que tratam da estrutura local dos Sistemas Dinâmicos, como o Teorema do Fluxo Tubular, que é aplicado a pontos regulares, e o Teorema de Grobman-Hartman, que é aplicado a pontos singulares hiperbólicos. Também definimos conjuntos Hiperbólicos, Parcialmente Hiperbólicos, Decomposição dominada, Fluxo Linear de Poincaré e Campo Singular Axioma A. No entanto, o principal objetivo deste trabalho é o estudo de Sistemas Dinâmicos Singulares Hiperbólicos, os quais são subconjuntos compactos e invariantes de uma variedade fechada que admitem uma decomposição contínua do fibrado tangente em dois subíibrados invariantes, onde um deles tem um comportamento contrativo e o outro, sendo dominado pelo primeiro, expande area. Além disso, são sistemas cujas singularidades são todas hiperbólicas. Abordamos também um exemplo de conjunto Singular Hiperbólico, o Atrator de Lorenz e o modelo geométrico desse Atrator.

In this work we demonstrate some theorems that deal with the local structure of Dynamical Systems, such as the Tubular Flow Theorem, which is applied to regular points, and Grobman-Hartman’s Theorem, which is applied to singular hyperbolic points. We also define Hyperbolic set, Partially Hyperbolic, Dominated Splitting, Linear Poincare Flow and Singular Axiom A vector field. However, the main objective of this dissertation is the study of Singular Hyperbolic Dynamical Systems, which are compact and invariant subsets of a closed manifold that admit a continuous Splitting of the tangent bundle into two invariant subbundles, one of them has a contractive behavior and the other, being dominated by the first, expands area. Moreover, all singularities of this systems are hyperbolic. Examples of Singular Hyperbolic sets are the Lorenz attractor and the geometric model of this attractor.