Métodos não-variacionais aplicados ao estudo de uma equação logística com difusão não-local

Abstract

Neste trabalho, tratamos de duas importante ferramentas no estudo de zeros de aplicações entre espaços de Banach: o grau topológico e a teoria de bifurcação. Inicialmente, apresentamos a construção do grau de Brouwer e de Leray-Schauder, explorando suas principais propriedades e exibindo algumas de suas aplicações. Em seguida, como aplicação do grau de Leray-Schauder, exibimos a prova do teorema de bifurcação global de Rabinowitz. A prova do teorema de bifurcação local de Crandall-Rabinowitz também é discutida, e se trata de uma ferramenta útil no estudo do comportamento qualitativo de continuum de soluções de equações diferenciais. Finalmente, aplicamos os resultados de bifurcação para estudar um problema logístico com difusão não-local, que surge do estudo de dinâmica de populações. Palavras-chave: teoria do grau; bifurcação; dinâmica populacional; equação logística

In this work, we deal with two important tools in the study of zero of maps between Banach spaces: the topological degree and bifurcation theory. Initially, we present the construction of the Brouwer and Leray-Schauder degrees, exploring their main properties and showing some of their applications. Then, as an application of the Leray-Schauder degree, we prove the Rabinowitz's global bifurcation theorem. The proof of the Crandall-Rabinowitz local bifurcation theorem is also discussed and it is a useful tool in studying the qualitative behavior of continuum solutions of partial differential equations. Finally, we apply the bifurcation results to study a logistical problem with non-local diffusion, which arises from the study of population dynamics. Keywords: degree theory; bifurcation; population dynamics; logistic equation.