Estabilidade estrutural em sistemas dinâmicos unidimensionais: uma abordagem a partir do Teorema de Peixoto

Abstract

Este trabalho teve como objetivo estudar o Teorema de Peixoto para sistemas dinâmicos unidimensionais definidos sobre o círculo S1 , buscando compreender os conceitos matemáticos envolvidos em sua demonstração e investigar possíveis contribuições desse estudo para a formação de professores de Matemática sob a perspectiva de Felix Klein. Inicialmente, foram apresentados conceitos fundamentais de Topologia a partir da obra Introduction to Smooth Manifolds, de John M. Lee. Também foram estudados resultados de Análise, Geometria Diferencial e Equações Diferenciais Ordinárias utilizando principalmente os livros Equações Ordinárias e Aplicações, de Scardua, e Equações Diferenciais Ordinárias, de Viana e Espinar. Os conceitos introdutórios de Sistemas Dinâmicos foram desenvolvidos com base em Introdução aos Sistemas Dinâmicos, de Yuri Lima. Esses resultados serviram de base para o desenvolvimento do trabalho. Em seguida, foi estudada a demonstração do Teorema de Peixoto em sua versão unidimensional, tomando como referência principal o artigo The One-dimensional Version of Peixoto’s Structural Stability Theorem: A Calculus- based Proof, de Rahman e Blackmore., caracterizando os sistemas estruturalmente estáveis em S1 como aqueles que possuem um número finito de pontos de equilíbrio hiperbólicos. A pesquisa também discutiu o significado intuitivo da estabilidade estrutural por meio de interpretações geométricas e analisou como ideias provenientes de resultados matemáticos avançados podem contribuir para a formação docente. Como aplicação educacional, foi proposta uma atividade voltada ao Ensino Médio utilizando o software GeoGebra para explorar conceitos relacionados à estabilidade e perturbações em sistemas matemáticos. Os resultados evidenciam que o estudo de temas avançados pode contribuir não apenas para o aprofundamento matemático do futuro professor, mas também para o desenvolvimento de novas formas de interpretar e apresentar conceitos da Matemática escolar. Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos. Estabilidade Estrutural. Teorema de Peixoto. Formação de Professores. Felix Klein.This work aimed to study Peixoto’s Theorem for one-dimensional dynamical systems defined on the circle S1 , seeking to understand the mathematical concepts involved in its proof and to investigate possible contributions of this study to the education of Mathematics teachers from the perspective of Felix Klein. Initially, fundamental concepts of Topology were presented based on John M. Lee’s book Introduction to Smooth Manifolds. Results from Analysis, Differential Geometry, and Ordinary Differential Equations were also studied, mainly using the books Ordinary Differential Equations and Applications, by Scardua, and Ordinary Differential Equations, by Viana and Espinar. Introductory concepts of Dynamical Systems were developed following the approach presented in Yuri Lima’s Introduction to Dynamical Systems. These results provided the theoretical foundation for the development of this work. Subsequently, the proof of Peixoto’s Theorem in its one-dimensional version was studied, taking as its main reference the article The One-dimensional Version of Peixoto’s Structural Stability Theorem: A Calculus-based Proof, by Rahman and Blackmore., characterizing structurally stable systems on S1 as those possessing a finite number of hyperbolic equilibrium points. The research also discussed the intuitive meaning of structural stability through geometric interpretations and analyzed how ideas arising from advanced mathematical results can contribute to teacher education. As an educational application, an activity aimed at high school students was proposed using the GeoGebra software to explore concepts related to stability and perturbations in mathematical systems. The results indicate that the study of advanced mathematical topics can contribute not only to the mathematical development of future teachers but also to the creation of new ways of interpreting and presenting school mathematics concepts. Keywords: Dynamical Systems. Structural Stability. Peixoto’s Theorem. Teacher Education. Felix Klein.