Sobre a Conjectura de Goldbach em anéis polinomiais

Abstract

A Propriedade de Goldbach estabelece que cada elemento de um anel de polinômios, de grau n ≥ 1, pode ser escrito como soma de dois elementos do mesmo anel, irredutíveis e cujos graus são n. Apresentamos domínios de integridade gerais tais que seus correspondentes anéis de polinômios satisfazem tal propriedade. Além disso, dado um polinômio mônico f (x) ∈ Z[x], apresentamos uma fórmula assintótica para N (f, k, t), com k ≥ 2 e quando t → ∞, sendo N (f, k, t) o número de representações (distintas) de f por somas f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + . . . + f k (x), em que f 1 , f 2 , . . . , f k são polinômios inteiros, mônicos e irredutíveis sobre Q tais que, para cada 1 ≤ i ≤ k, a altura de f i (x) := x d i + y i,d i −1 x d i −1 + . . . + y i,1 x + y i,0 definida por H(f i ) := max 1≤j≤d i |y i,d i −j | é no máximo t. Palavras-chave: Anéis polinomiais. Conjectura de Goldbach. Fórmula assintótica.

The Goldbach Property establishes that each element of a polynomial ring, with degree n ≥ 1, can be written as the sum of two elements of the same ring, irreducible and whose degrees are n. We present general integral domains such that their corresponding polynomial rings satisfy this property. Furthermore, given a monic polynomial f (x) ∈ Z[x], we present an asymptotic formula for N (f, k, t), with k ≥ 2 and when t → ∞, being N (f, k, t) the number of (distinct) representations of f by sums f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + . . . + f k (x), where f 1 , f 2 , . . . , f k are integer, monic and irreducible polynomials (over Q) such that, for each 1 ≤ i ≤ k, the height of f i (x) := x d i + y i,d i −1 x d i −1 + . . . + y i,1 x + y i,0 defined by H(f i ) := max 1≤j≤d i |y i,d i −j | is at most t. Keywords: Polynomial rings. Goldbach Conjecture. Asymptotic formula.