Caracterização dos polinômios de permutação

Abstract

Neste trabalho o principal conceito usado é Polinômio de Permutação. Estes polinômios surgiram primeiro no trabalho de Betti |4]), Mathieu [9] e Hermite [6] como forma de representar permutações. Uma teoria geral foi desenvolvida por Hermite [6] e Dickson [5], com muitos desenvolvimentos subsequentes. Pro- duzir polinômios de permutação é um problema díficil. Recentemente, Akbary, Wang e Wang [1, 3] estudaram binômios da forma x” + q” sobre F, no caso d = mde(q — 1,u — r) satisfazendo (q — 1)/d E (3,5, 7). Seus resultados forne- ceram critérios necessários e suficientes para que tais binômios permutem F,, em termos do período de uma generalização da sequência de Lucas em F,. Porém as provas encontradas para tais critérios eram bastante complicadas, além de pos- suir uma demonstração para cada caso (q— 1)/d E (3,5, 73. Naturalmente, se pergunta se pode haver uma abordagem uniforme que funcione para qualquer d arbitrário, e produza assim, os outros resultados ditos acima como casos especiais. Dessa forma, o artigo de Michael Zieve [11] apresenta métodos com uma abor- dagem mais curta e simples que se aplica à classe mais geral de polinômios sem utilizar dos métodos usados por Akbary, Wang e Wang. Diante do exposto, o ob- jetivo neste trabalho será estudar tais demonstrações se preocupando com a classe de polinômios da forma f(x) = x"hu(x")' onde hA(x)= "14 q2t2+..42+41 com r,v,k,t inteiros positivos.

hn this work the main concept used is Permutation Polynomial. These polynomi- als first appeared in the work of Betti |4], Mathieu [9] and Hermite [6] as a way of representing permutations. A general theory was developed by Hermite [6] and Dickson [5], with many subsequent developments. Producing permutation poly- nomials is a difficult problem. Recently, Akbary, Wang and Wang [1, 3) studied binomials of the form x” + x” over F, in the case d = mdc(g — 1,u — 7) satisfying (g— 1)/d € (3,5,7). Their results provided necessary and sufficient criteria for such binomials to exchange F,, in terms of the period of a generalization of the Lucas sequence in F,. However, the evidence found for such criteria was quite complicated, besides having a demonstration for each case (gq — 1)/d E (3,5, 7). Naturally, one wonders if there can be a uniform approach that works for any arbitrary d, and thus produces the other results said above as special cases. Thus, Michael Zieve's paper [11| presents methods with a shorter and simpler approach that applies to the more general class of polynomials without using the methods used by Akbary, Wang and Wang. Given the above, the aim of this paper will be to study such demonstrations worrying about the class of polynomials of the form f(x) = x" ha(x”) where hua) = "1 pt2 4 4x4 withr,v,k,t positive Integers.

Keywords: Finite Fields. Polynomials. Permutation Polynomials.