Um estudo sobre a associação da análise microlocal e wavelets com aplicação na eletrodinâmica

Abstract

Usando uma classe de wavelts direcionais (denominadas wavelets cônicas, as quais tem suporte estritamente contido em um cone convexo próprio no espaço-K das frequencias), mostramos que uma dstribuição temperada é obtida como uma soma finita de valores limites de funções analíticas resultantes da complexificação do parâmetro translacional da transformada wavelet. Além disso, provamos que para uma dada distribuição ∈ ƪ′(ℝn), a transformada wavelet contínua de com respeito à wavelet cônica é definida de tal maneira que a transformada wavelet direcional de produz uma função no espaço de fase, cujas singularidades de alta-frequência são precisamente os elementos do conjunto de frente de ondas analítico de . Como uma aplicação dos resultados acima, representamos as soluções das equações de Maxwell em termos da transformada wavelet direcional. Então, usamos o conjunto de polarização, o qual refina a noção do conjunto de frente de ondas para distribuições com caráter vetorial, a fim de analisar as singularidades de soluçoes das equações de Maxwell.

By using a particular class of directional wavelets (namely the conical wavelets, which are wavelets strictly supported in a proper convex cone in the k-space of frequencies), it is shown that a tempered distribution is obtained as a finite sum of boundary values of analytic functions arising from the complexication of the translational parameter of the wavelet transform. Moreover, we show that for a given distribution ∈ ƪ′(ℝn), the continuous wavelet transform of with respect to a conical wavelet is defined in such a way that the directional wavelet transform of yields a function on phase space whose high-frequency singularities are precisely the elements in the analytic wavefront set of . As an aplication, we represent the solutions of Maxwell's equations in terms of directional wavelet transform. Then, we make use of the polarization set, which refine the notion of wavefront set for vector-valued distributions, in order to analyze the singularities of solutions of the Maxwell's equations.