Funções geradoras e algumas aplicações à contagem

Abstract

A presente obra traz, inicialmente, um corpo teórico acerca das sequências e séries numéricas. Esse primeiro estudo serve de base para a abordagem que ocorre em seguida sobre as sequências e séries de funções. Dentro desse contexto, são exploradas algumas definições e teoremas relacionados à convergência pontual, convergência uniforme, séries de potências e séries de Taylor. Ainda nessa parte, a série geométrica e a série exponencial são enfatizadas. A partir desse primeiro exposto, a obra contempla algumas técnicas de contagem e aplicações: o princı́pio da inclusão e exclusão, partições e funções geradoras. Essas últimas, naturalmente, resgatarão o conteúdo relacionado às séries geométrica e exponencial, mas, dessa vez, sem a preocupação com as questões envolvendo convergência. Por fim, no tocante ao ensino da matemática, o conteúdo de análise combinatória é analisado criticamente em cinco livros didáticos do ensino básico. Palavras-chave: Princı́pio da Inclusão e Exclusão. Funções Geradoras. Análise Combinatória. Análise de livros didáticos.

This work introduces a theoretical approach to numerical sequences and series. This first study provides a basis for our approach related to the sequences and series of functions. Within this context, some definitions and theorems related to pointwise convergence, uniform convergence, power series and Taylor series are explored, giving an emphasis on geometric and exponential series. Further the work focuses on certain counting techniques and applications: such as the inclusion-exclusion principle, partitions and generating functions. The last two topic will rescue the content related to geometric and exponential series, but this time, without worrying about issues involving convergence. Finally, with regard to the teaching of mathematics, we critically analyze the topic of combinatorial analysis as presented in five textbooks that cover basic mathematical concepts. Keywords: Inclusion-Exclusion Principle. Generating Function. Combinatorial Analysis. Textbooks analysis.