Epidemic processes and diffusion on networks: analytical and computational aproaches

Abstract

A field of outstanding interest in Statistical Physics is the investigation of dynamical processes on complex networks. This thesis is devoted to explore the behavior of epidemic dynamics running on heterogeneous networks. We improved analytical approaches - quenched and heterogeneous mean-field theories - by means of pair approximations, which explicitly take into account dynam- ical correlations between connected vertices. These approaches yield more accurate predictions of the epidemic thresholds in the susceptible-infected-susceptible (SIS) model and the critical expo- nents associated to the absorbing state phase transition of the contact process (CP) obtained through finite-size scaling. These approaches can be applied to dynamical processes on networks in gen- eral providing a profitable strategy to analytically assess and fine-tune theoretical corrections. We also investigated the SIS dynamics on random networks having a power law degree distribution (P (k) ∼ k −γ ), with exponent γ > 3, since the existence or absence of a finite threshold involving an endemic phase has been target of a recent and intense investigation. We found that this model on a single network can exhibit multiple transitions involving localized epidemics and our numerical analysis indicates that the transition to the endemic state occurs at a finite threshold. Our analy- sis points out that competing mean-field theories are, in fact, complementary since they describe different epidemic thresholds which can concomitantly emerge in a single network. Finally, we also investigated the diffusion processes on temporal networks by means of a random walk. We analyzed this dynamic theoretically by means of a mapping to Bouchaud’s trap model and using numerical simulations. We found evidence of aging behavior in the random walk relaxation.

Uma área de crescente interesse na Física Estatística é o estudo de processos dinâmicos em redes complexas. Neste contexto, o objetivo principal dessa tese é investigar o comportamento de processos epidêmicos em redes heterogêneas. Com esse intuito, aprimoramos as teorias de campo médio quenched e heterogênea através de aproximações de pares nas quais a correlação dinâmica entre vértices vizinhos é explicitamente levada em consideração. Essas abordagens nos permitem determinar, com maior precisão, os limiares epidêmicos do modelo suscetível-infectado-suscetível (SIS), e também as relações de escala dos expoentes críticos associados à transição de fase para o estado absorvente no processo de contato (CP). Também investigamos a dinâmica do modelo SIS em redes aleatórias com distribuição de conectividade em lei de potência (P (k) ∼ k −γ ), com expoente γ > 3, uma vez que a existência ou ausência de um limiar finito envolvendo uma transição para a fase endêmica tem sido alvo de muitos estudos recentemente. Encontramos que o modelo pode exibir múltiplas transições envolvendo epidemias localizadas. Nossa análise numérica também indica que a transição para uma fase endêmica pode ocorrer num limiar finito. Nossos resultados mostram que teorias de campo médio a princípio contraditórias, na verdade são complementares porque elas descrevem diferentes limiares epidêmicos que podem aparecer concomitantemente em uma única rede. Finalmente, nós também investigamos processos de difusão em redes temporais através do modelo de caminhada aleatória. Além de ser estudada numericamente via simulações, tal dinâmica também foi estudada teoricamente através do seu mapeamento no modelo de armadilhas de Bouchaud. Nesse estudo foram encontradas evidências do comportamento de aging na relaxação de tal processo dinâmico.