Processos dinâmicos com estados absorventes em redes complexas

Abstract

A teoria de redes complexas vem se consagrando no estudo de fenômenos que emergem da interação entre os constituintes de um sistema. Particularmente, os processos dinâmicos com estados absorventes (que cessam a evolução) tem sido alvo de controvérsias sobre as abordagens matemáticas para sua descrição. O protótipo para o estudo dessa classe é o processo de contato: o modelo mais simples com essas propriedades, que apesar de bem entendido em redes regulares, vem desafiando nossa compreensão para sua descrição em redes complexas. Para estudarmos a dinâmica do processo de contato nessas redes, combinamos o método quase estacionário com uma abordagem via equação mestra que desenvolvemos. Isso nos permitiu entender as correções necessárias para estudá-lo em sistemas com tamanhos finitos, que são alvo de uma longa discussão científica sobre a validade de teorias de campo médio em redes complexas. Nossos estudos mostraram que a teoria de campo médio heterogêneo descreve o processo de contato em redes complexas, ao contrário do que havia sido relatado na literatura. Nós identificamos que essa teoria fornece os expoentes críticos corretos, mas não é capaz de explicar correções para tamanhos finitos em redes fortemente heterogêneas. Para avançarmos nessa discussão, estudamos o papel das propriedades estruturais dessas redes sobre quantidades quase estacionárias do processo de contato e expondo a teoria de campo médio heterogêneo a testes numéricos. Além disso, desenvolvemos uma aproximação de pares heterogênea inédita, capaz de explicar alguns pontos em que a teoria de campo médio heterogênea é imprecisa. Por fim, investigamos o processo de contato em diversas topologias de redes explorando características particularidades da classe de redes sem escala em que a distribuição de conectividade entre seus vértices segue uma lei de potência e a classe de redes de mundo pequeno, que apresenta uma distribuição com cauda exponencial. Dessa forma, a dinâmica do processo de contato foi investigada em substratos com características diversas e os resultados derivados nos ajudaram no desafio de compreender melhor sua dinâmica não trivial em redes complexas.

The complex network theory has been outstanding in the last decades in the study of emergent phenomena from the interaction among agents of a system. Particularly, dynamical processes with absorbing states (that cease their evolution) has been the subject of controversies about mathematical approaches to its description. The prototype for the study of this class is the contact process: the simplest model with these properties, that even though well understood on regular networks, it is challenging our understanding for its description on complex networks. To study the dynamics of the contact process on such networks, we combined the quasistationary method with a master equation approach that we developed. It allowed us to understand the necessary corrections for study it in finite systems, that are the subject of a long scientific debate about the validity of mean-field theories on complex networks. Our studies showed that the heterogeneous mean-field theory describes the contact process on complex networks, in contrast to what was reported in the literature. We verified that this theory provides correct critical exponents, but can not explain corrections for finite sizes on strongly heterogeneous networks. For advance in this debate, we studied the role of structural properties of networks on quasistationary quantities of the contact process and submitted this theory to numerical tests. Furthermore, we have developed a heterogeneous pairs approximation able to explain some points where the heterogeneous mean-field is inaccurate. Finally, we investigated the contact process in several network topologies exploiting particular features of the class of scale-free networks, in which the connectivity distribution among vertices follows a power-law and the class of small-world networks, which has a distribution with an exponential tail. Thus, the dynamics of the contact process was investigated on substrates with different characteristics and the results derived have helped us in the challenge to a better understand of its non-trivial dynamics on complex networks.