Um estudo sobres semigrupos numéricos

Abstract

A proposta deste trabalho é apresentar semigrupos numéricos e alguns de seus invarian- tes e propriedades. Também iremos tratar sobre o conjunto Apéry, algumas cadeias de semigrupos, ideais e ideais biduais. Abordaremos as famı́lias de semigrupos simétricos, pseudossimétricos, quase simétricos, Arf e semigrupos modulares. Mostraremos uma relação entre semigrupos numéricos e as soluções naturais de uma equação diofantina linear e também a relação entre semigrupos modulares e as inequações diofantinas modulares. Apresentaremos um algoritmo para decidir se um semigrupo é modular ou não e estabele- ceremos uma conexão entre semigrupos cujo módulo é mı́nimo com respeito ao seu peso e os chamados UESY-semigrupos. Por fim, propomos algumas atividades que podem ser utilizadas na Educação Básica. Palavras-chave: Semigrupos numéricos. Semigrupos numéricos modulares. Semigrupos simétricos. Semigrupos pseudossimétricos. Semigrupos quase simétricos. Semigrupos Arf. UESY-semigrupos. Equação diofantina linear. Inequação diofantina modular.

The purpose of this paper is to present numerical semigroups and some of its invariants and properties. We also discuss about the Apéry set, some semigroup chains, ideals and bidual ideals. We bring some semigroup families, such as symmetric, pseudosymmetric, almost symmetric, Arf and modular semigroups. It is shown a relation between numeric semigroups and the natural solutions of a linear diophantine equation and also a relation between modular semigroups and modular diophantine inequalities. We present an algorithm to decide whether a numerical semigroup is a modular one and establish a connection between modular semigroups whose moduli are minimal with respect to their weights and UESY-semigroups. Finally, we propose some activities that can be used in secondary and high school. Keywords: Numerical semigroups. Modular numerical semigroups. Symmetric semigroups. Pseudosymmetric semigroups. Almost symmetric semigroups. Arf semigroups. UESY- semigroups. Linear diophantine equation. Modular diophantine inequation.