Theoretical investigation of epidemic diseases with waning immunity

Abstract

Among prototypical epidemic models, we can highlight the susceptible, infected and sus- ceptible model (SIS), possessing a transition to an absorbing state, and the susceptible, infected and recovered model (SIR), possessing a transition between outbreaks spanning finite and vanishing fractions of a population. They represent models without immuni- zation and with permanent immune period, respectively, and have drawn much atten- tion from researchers interested in their critical behavior in heterogeneous networks with power-law degree distributions, P (k) ∼ k −γ . However, much less attention has been de- voted to its general counterpart, the susceptible, infected, recovered and susceptible model (SIRS), which presents finite immunity periods 1/α, where α is a rate of waning im- munity. While SIR (α = 0) is accurately described by a recurrent dynamic message passing (rDMP), an adaptation of this theory to the SIS (α → ∞) model, is not ca- pable of capturing basic features as the vanishing of the epidemic threshold λc in the thermodynamic limit on top of heterogeneous networks with γ > 3. An open question is whether the rDMP theory is capable of predicting the correct behavior of the SIRS model. We discovered that epidemics with immunity period in heterogeneous topologies are better described by the rDMP theory, which accounts for correlations only in the non- backtracking aspect, than the pQMF theory. Conversely, the pQMF theory outperforms rDMP theory in homogeneous networks. Markovian processes are valuable for the study stochastic models, presenting Poisson (exponential) distribution. However, regarding real epidemics, recovery data are best fitted by Gamma or Weibull distributions. In this thesis we analyze the impact of non-Markovian recovery distribution on the epidemic activation of the SIS and SIRS models by employing η > 1 recovery compartments, leading to Gamma distributions for the recovery time. We found that the SIRS model on top of star-graphs, with finite α and the case η → ∞, leads to a finite lifespan, while the in- creasing of compartments η in the SIS model keeps the lifespan exponentially increasing with network size unaltered, as found in the Markovian SIS model. Extensive numerical simulation do not show any significant changes in the scenario of power-law networks with γ < 3, while it presents only small changes for γ > 3, regarding activation and localization patterns. Keywords: Complex networks. Critical phenomena. Epidemic spreading. Mean-field theories.Dentre os modelos epidêmicos prototípicos, destacam-se o modelo suscetível, infectado e suscetível (SIS), o qual possui uma transição para o estado absorvente, e o modelo suscetível, infectado e recuperado (SIR), que possui uma transição entre surtos cobrindo frações finitas e ínfimamente pequenas de uma população. Ambos representam modelos sem imunização e com imunidade permanente, respectivamente, e atraíram muita aten- ção de pesquisadores interessados em seu comportamento crítico em redes heterogêneas com distribuições de grau em lei de potência, P (k) ∼ k −γ . No entanto, muito menos atenção foi dedicada ao seu geral, o modelo suscetível, infectado, recuperado e suscetível (SIRS), que apresenta períodos de imunidade finitos 1/α, onde α é uma taxa de perda de imunidade. Embora o SIR (α = 0) seja descrito com precisão por uma teoria de trans- missão de mensagem recorrente dinâmica (do inglês, recurrent dynamic message passing - rDMP), uma adaptação dessa teoria ao modelo SIS (α → ∞) não é capaz de capturar comportamentos básicos como a ausência de limiar epidêmico λc no limite termodinâmico em redes com γ > 3. Uma questão em aberto é se a teoria rDMP é capaz de prever o comportamento correto do modelo SIRS. Nós descobrimos que epidemias com período de imunidade em topologias heterogêneas são melhor descritas pela teoria rDMP, que con- sidera correlações no âmbito da ausência de reinfecção mútua, do que pela teoria pQMF. Por outro lado, a teoria pQMF supera a teoria rDMP em redes homogêneas sem outliers. Processos markovianos são valiosos para o estudo de modelos estocásticos, apresentando distribuição de Poisson (exponencial). No entanto, em relação a epidemias reais, os dados de recuperação são melhor ajustados pelas distribuições Gama ou Weibull. Nesta tese, também analisamos o impacto da distribuição de tempos de recuperação não markoviana na ativação epidêmica dos modelos SIS e SIRS, empregando-se η > 1 compartimentos de recuperação, o que leva a distribuições do tipo Gama. Descobrimos que o modelo SIRS com α finito e o caso η → ∞ em um grafo estrela leva a um tempo de atividade finito, enquanto o aumento dos compartimentos η no modelo SIS mantém o tempo de atividade aumentando exponencialmente com o tamanho da rede, conforme encontrado no modelo SIS markoviano. Simulações numéricas extensivas não mostram nenhuma alteração sig- nificativa no cenário de redes de lei de potência com γ < 3, enquanto apresentam apenas pequenas alterações para γ > 3 no que tange os padrões de ativação e localização. Palavras-chave: Redes complexas. Fenômenos críticos. Espalhamento epidêmico. Teorias de campo-médio.