Teorema Pick e suas aplicações

Abstract

A pesquisa explora as possibilidades e os limites da aplicação do Teorema de Pick no Ensino Fundamental. Essa proposição permite calcular a área de polı́gonos simples, convexos ou não, utilizando para isso uma malha quadriculada e uma simples contagem de pontos. O trabalho apresenta definições importantes da geometria plana como: polı́gonos, medida de área e demonstrações das fórmulas de cálculo de área dos polı́gonos mais conhecidos; explora o cálculo da área do cı́rculo baseado no método de Arquimedes e no método de exaustão de Eudoxo; utiliza os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral para calcular a área de uma figura plana qualquer. Especificamente sobre o Teorema de Pick, a pesquisa procura alinhar as ideias centrais e as definições importantes para que se tenha argumentos suficientes para a demonstração dessa proposição. O trabalho demonstra ainda a extensão do Teorema de Pick para polı́gonos com buracos e a relação entre o Teorema de Pick com o Teorema de Euler para polı́gonos. Por fim, é apresentado possibilidades metodológicas para ensinar geometria no Ensino Fundamental a partir do Teorema de Pick, tomando como base as orientações da Base Nacional Comum Curricular. É apresentado ainda uma análise de três atividades desenvolvidas de forma remota com estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do munı́cipio de Contagem/MG. Palavras-chave: Área de Polı́gonos. Rede. Triângulo fundamental. Geometria. Ensino de matemática.

The research explores the possibilities and limits of applying Pick’s Theorem in Elementary School. This proposition allows us to calculate the area of simple polygons, convex or not, using a checkered mesh and a simple point count. The work presents important definitions of plane geometry such as: polygons, area measurement and demonstrations of the formulas for calculating the area of the most known polygons; explores the calculation of the circle area based on Archimedes’ method and Eudoxo’s exhaustion method; uses the first concepts of Differential and Integral Calculus to calculate the area of any plane figure. Specifically about Pick’s Theorem, the research seeks to align the central ideas and important definitions so that there are enough arguments to demonstrate this proposition. The work also demonstrates the extension of Pick’s Theorem for polygons with holes and the relationship between Pick’s Theorem and Euler’s Theorem for polygons. Finally, it presents methodological possibilities for teaching geometry in elementary school from Pick’s Theorem, based on the guidelines of the Common National Curriculum Base . It is also presented an analysis of three activities developed remotely with students from the 8th year of Elementary School of a public school in the municipality of Contagem/MG. Keywords: Polygon Area. Network. Fundamental triangle. Geometry. Mathematics teaching