Curvas planas no ensino médio

Abstract

Este trabalho ter ́a um enfoque nas Curvas Planas no Ensino Médio com uma perspectiva literária de aprofundamento teórico e de sugestão pedagógica. Introduziremos as noções de curvas planas com definições, teoremas e apresentaremos algumas curvas parametrizadas no plano, tais como: Elipse, Hipérbole, Ciclóide, Lemniscata de Bernoulli, dentre outras, para tanto, recorreremos ao GeoGebra. Além disso, utilizando os conceitos de geometria diferencial, vamos representar várias curvas regulares com mesmo traço, através da mudança de parâmetro e demonstraremos o conceito de Curvaturas, apresentando a fórmula de Frenet para curvas parametrizadas pelo comprimento do arco. Com intuito de demonstrar o Teorema de Jordan, forneceremos uma ideia geral de topologia, incluindo definições e resultados básicos, além de algumas noções de espaços métricos, funções e caminhos conexos, a fim de facilitar a execução e compreensão do teorema. Por fim, usando a propriedade de separação de polígonos no plano, iremos apresentar e demonstrar o Teorema de Jordan, que se enuncia: “Uma curva de Jordan separa o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada, sendo o traço da curva a fronteira comum das duas regiões” de fácil compreensão mas possui uma demonstração complexa. Como intervenção em sala de aula, apresentaremos uma proposta de atividades envolvendo parametrização e construção de curvas planas no GeoGebra

This paper will have a focus on the Flat Curves in High School with a literary perspective of theoretical deepening and pedagogical suggestion. We will introduce the notions of flat curves with definitions and theorems and present some curves parameterized in the plane, such as: Ellipse, Hyperbole, Cycloid, Lemniscate of Bernoulli, among others, and for this we will resort to GeoGebra. Beyond that, using the concepts of the differential geometry, we will represent several regular curves with the same trace, through the parameter change and we‘ll demonstrate the concept of Curvatures, presenting the Frenet formula for parameterized curves by the length of the arc. In order to demonstrate the Jordan Theorem, we will provide a general idea of topology, including basic definitions and results, as well as some notions of metric spaces, functions and connected ways, in order to facilitate the execution and understanding of the theorem. Finally, using the property of separation of polygons on flat, we will present and demonstrate the Jordan Theorem, which enunciates: ”A Jordan curve separates the flat into two regions, one limited and one unlimited, being the trace of the border curve, common of the two regions” It‘s easy to understand but has a complex demonstration. As a classroom intervention, we‘ll present a proposal of activities involving parameterization and construction of flat curves in GeoGebra